Question

高等数学函数极限的问题？

下图是题目与解答，第七题，为什么设x小于1呢，设小于2或者小于0.5可不可以呢

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Answer 1

都可以，但是要注意，设|x-2|<a的话，你最后求出来的δ也要小于a。

追问

能说的再具体一点吗

追答

这里的a>0基本上可以随意设置的
不妨设|x-2|0，所以a+4>|4-a|）
|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ
因为题目要求|x²-4|<0.001
所以δ≤0.001/(a+4)
取δ=0.001/(a+4)即满足条件
注意：如果我们还原成标准定义的写法的话就是
当ε=0.001时，存在δ=0.001/(a+4)，对于任意的|x-2|<δ，我们有
|x-2|<δ≤a
所以
|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ=0.001
这里a必须要比δ大

这里的a>0基本上可以随意设置的
不妨设|x-2|0，所以a+4>|4-a|）
|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ
因为题目要求|x²-4|<0.001
所以δ≤0.001/(a+4)
取δ=0.001/(a+4)即满足条件
注意：如果我们还原成标准定义的写法的话就是
当ε=0.001时，存在δ=0.001/(a+4)，对于任意的|x-2|<δ，我们有
|x-2|<δ≤a
所以
|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ=0.001
这里a必须要比δ大

这里的a>0基本上可以随意设置的

不妨设|x-2|0，所以a+4>|4-a|）

|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ

因为题目要求|x²-4|<0.001

所以δ≤0.001/(a+4)

取δ=0.001/(a+4)即满足条件

注意：如果我们还原成标准定义的写法的话就是

当ε=0.001时，存在δ=0.001/(a+4)，对于任意的|x-2|<δ，我们有

|x-2|<δ≤a

所以

|x²-4|=|x+2||x-2|<(a+4)|x-2|<(a+4)δ=0.001

这里a必须要比δ大

追问

没太懂

追答

标准用定义求极限的过程是，对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的|x-2|<δ，有|x²-4|<ε。我们的目标就是找到符合条件的δ，显然当δ越接近0，|x²-4|<ε越容易成立。所以我们可以给δ随意加一个上限比如题目中给的1，或者你说的0.5，2之类的都可以。