Question

设f（x）在[0，1]上二阶导数连续，f（0）=f（1）=0，并且当x属于（0,1）时，|f‘‘（x）|小于等于A，求证

：|f’（x）|小于等于二分之A，x∈[0,1].

Answer 1

f(0)=f(x)-f'(x)x+f''(ξ）x^2 /2
f(1)=f(x)-f'(x)(x-1)+f''(η）(x-1)^2 /2
两式相减，f'(x)=[f''(ξ)*x^2 - f''(η)*(x-1)^2] /2
|f'(x)|<=A/2 *(2x*2 +2x +1)<=A/2

追问

最后一步两式相减得不出结论的吧，不等式能这么减吗？

追答

当然能，且让我慢慢道来
两式相减,0=0-f'(x)+[f''(ξ)x^2 - f''(η(x-1)^2]/2
f'(x)=[f''(ξ)x^2 - f''(η)(x-1)^2]/2
|f'(x)|=|f''(ξ)x^2 - f''(η)(x-1)^2|/2<=(|f''(ξ)|x^2 +|f''(η)x-1)^2)/2<=A/2*(x^2+(x-1)^2)=A/2(2x^2-2x+1)
<=A/2