Question

一道高中数学题(较难）

数列{an}定义为：X1=1，Xn+1（n+1是小脚标）=nsinXn+1（1在外面）。问数列{an}是否为周期数列（不必从首项起）

Answer 1

题目说的是数列{an}，但又给出xn，建议把{an}改成{xn}。
解：∵不必从首项算起 ∴假设从第二项算起为周期数列
∴设x2=x(k+2)(k≥1且k属于N*)，k为数列的周期
∵x1=1 ∴x2=1+sinx1=1+sin1=x(k+2)，x3=1+2sinx2=1+2sin(1+sin1)
∵k为数列周期 ∴x(k+3)=x3=1+2sin(1+sin1)
∴x(k+3)=1+(k+2)sin[x(k+2)]
1+2sin(1+sin1)=1+(k+2)sin(1+sin1)，2sin(1+sin1)=(k+2)sin(1+sin1)
∵0＜sin1＜1 ∴0＜1＜1+sin1＜2＜π，sin(1+sin1)≠0
∴2=k+2，k=0与题设k≥1矛盾
∴不存在周期k使得{Xn}为周期数列
∴{Xn}不是周期数列

Answer 2

假设数列为周期T数列
那么有 X[n]=X[n+T]
X[n+1]=n*sinX[n]+1=n*sinX[n+T]+1
又 X[n+1]=X[n+T+1]=(n+T+1)*sinX[n+T]+1
上面两式相等，得出 n=n+T+1 （显然sinX[n+T] !=0）==> T=-1
存在矛盾，故不是周期数列

Answer 3

按照三楼的回答，T=-1，那么它就是周期数列，周期可以是负的

Answer 4

是你说的周期数列，因为SIN是有周期的

追问

严谨的证明？

Answer 5

的确很难