Question

设a>0,函数f(x)=x^2+a|Inx-1|.当a=2时，求函数的单调增区间

若x≥1时，不等式f(x)≥a恒成立，实数a的取值范围。

Answer 1

若Inx-1>=0，即X>=e,有
f(x)=x^2+a（Inx-1），对其求导得到：f'(x)=2X+a/x.
当a=2时，即为2X+2/X,因X>=e，所以f'(x)>0恒成立，f(x)在X>=e上单调递增。
若Inx-1<0,即0<X<e,则有
f(x)=x^2-a（Inx-1），f'(x)=2X-a/x=2X-2/X，令f'(x)>0得到，x>1或x<-1,又因为0<X<e，则有
1<X<e。
综上，f(x)在X>1上单调递增.

若x≥1时，不等式f(x)≥a恒成立,
若1<=X<e，则f(x)≥a为f(x)=x^2-a（Inx-1)-a≥0,
即x^2-alnx≥0恒成立，即a<=x^2/lnx,
由单调函数求得x^2/lnx的最小值为2e,即当X=e^(1/2)[根号e]时，所以a<=2e;
若X>=e,f(x)≥a为f(x)=x^2+a（Inx-1)-a≥0,
即x^2+alnx-2a≥0恒成立，即
若e^2>X>=e,则a<=x^2/(2-lnx),又求得其最小值为e^2,当x=e时；所以a<=e^2;
若x>=e^2,则a>=x^2/(2-lnx),又求得其最大值为-2e^5,当x=e^(5/2)时；所以a>=-2e^5;
综上得到a的取值范围为：-2e^5<=a<=2e.