Question

已知曲线C的方程是x²+y²-2x+4y+m=0,m∈R。 (1）若此曲线表示圆，求m的取值范围;

（2）在（1）的条件下，若曲线C与圆（x-5）²+（y-5）²=36相内切，求曲线C的标准方程

Answer 1

你好：
（1）。配方移项后得到：
(x-1)^2+(y+2)^2==r^2=5-m
所以要使：5-m>0
解得：m<5
(2).因为C的圆心在圆（x-5）²+（y-5）²=36外，所以圆（x-5）²+（y-5）²=36是圆C的内切圆。
所以圆C为大圆。
因为圆C与圆（x-5）²+（y-5）²=36相内切，所以两圆的连心线的长度为：
大圆的半径减去小圆的半径：r1=√(5-m) r2=6
大圆的圆心为：（1,-2）小圆的圆心为（5,5）
r1-r2=√[(1-5)^2+(-2-5)^2]=√65
r1=6+√65
所以圆C的标准方程为：(x-1)^2+(y+2)^2=(6+√65)^2
回答完毕。谢谢！

追问

为什么C的圆心在圆（x-5）²+（y-5）²=36外
应该有两种可能吧？

追答

因为：圆C的圆心为（1，-2）
他到圆（x-5）²+（y-5）²=36圆心的距离为：d=√[(1-5)^2+(-2-5)^2]=√65>6
大于了圆（x-5）²+（y-5）²=36的半径，所以圆C不可能在圆（x-5）²+（y-5）²=36的内部
因为圆C要在圆（x-5）²+（y-5）²=36的内部，两圆的连心线要小于6
所以只有圆（x-5）²+（y-5）²=36在圆C的内部，所以只有一种情况。

Answer 2

(1）x²+y²-2x+4y+m=0，（x-1)^2+(y+2)^2=5-m，m<5。
（2）内切：半径只差等于圆心的距离，所以：│√（5-m）-√36│=√[（5-1）^2+(5+2)^2]，得5-m=（6+-12√65）^2.......