Question

参数方程｛x=cosθ (sinθ +cosθ ) y=sinθ(sinθ +cosθ ) (θ 为参数）表示什么曲线

求过程及答案

Answer 1

x=cosθ(sinθ+cosθ)=(cosθ)^2+sinθcosθ
y=sinθ(sinθ+cosθ)=(sinθ)^2+sinθcosθ
所以 x+y
=1+2sinθcosθ (由倍角公式)
=1+sin2θ
而 x-y
=(cosθ)^2-(sinθ)^2 (由倍角公式)
=cos2θ
因此有
(x+y-1)^2+(x-y)^2
=(sin2θ)^2+(cos2θ)^2
=1
即 (x+y-1)^2+(x-y)^2=1.
又因为 (x+y-1)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)-2x-2y=1，即 x^2+y^2-x-y=0，所以上述参数方程代表的是一个圆：(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2. 圆心在(1/2,1/2)，半径为 根号2/2.

Answer 2

x=cosθ (sinθ +cosθ ), y=sinθ(sinθ +cosθ )
x+y=cosθ (sinθ +cosθ ) +sinθ(sinθ +cosθ )=1+sin2θ=1+2tanθ/(1+tan²θ)
y/x=tanθ
x+y=1+2(y/x)/[1+(y/x)²]
化简，整理，得x²+y²=x+y
表示圆心在(1/2,1/2)，半径为√2/2.的圆

Answer 3

设sinθcosθ=m cos^2θ=n 则sin^2θ=1-n
m=(x+y-1)/2 n=(x-y+1)/2
两式相除得y/x=sinθ/cosθ
即y/x=m/cos^2θ
y/x=m/n
y/x=(x+y-1)/(x-y+1)
移项配相后得
(x-0.5)^2+(y-0.5)^2=0.5
即是过（0.5,0.5）点半径为根号0.5的圆