Question

定积分中的积分变量的问题

见图 题目有点长 求解答。
看不清图的可以先左键单击图片 然后在新对话框中右键另存为然后本地看 谢谢大家了

Answer 1

题目当中给出的做法以及对又例的明白都是对的，经过变量替换以后，u确实是新的积分变量，原来的积分变量是t，对积分而言，x可看作常量，对求导而言，x是求导变量，这些都是对的。
你的问题是说，题目和又例是两种情况，前者u=2x-t，x与(新)积分变量u有关，而后者x与积分变量t无关，是吧。
是这样，对该变量替换来说，x与u在形式上是有关系的，但其实是常量与变量的关系(只有t与u是变量间的关系)，由此，x相对于新的积分变量u看作常量就不难理解了。或者说，当变量替换的步骤完成以后，x与u的那个关系，我们已经在变量替换的过程中考虑完毕(换积分变量、换积分限、换被积函数等)，此时，我们要独立地审视替换后的积分表达式，而不再关联关系u=2x-t，这也可以说是定积分换元的一个特点吧。
注意一下，在本质上，替换u=2x-t中，u与t是变量替换中的一对变量，而x始终是常量(对积分而言，不是对求导)。

回答你的追问“u中是含有x的也就是说与x有关” 如下：
不错，“u中是含有x的也就是说与x有关”，但是是变量与常量的关系，不是变量与变量的关系。

Answer 2

换元，u 与x有关，但关系体现在积分限上。

见图片。

Answer 3

因为被积变量是dt，所以x可以看作常数。
其实你完全可以把x换成任意一个实数，你那样做变换仍然都是成立的。现在是这样的过程，给定一个x，∫t f(2x-t) dt能得到一个实数（尽管不是具体的），所以∫t f(2x-t) dt是x的函数，可以对x求导。但是让x取任何一个确定的实数，∫t f(2x-t) dt都是一个t的函数的积分，当然不用考虑x的影响。

追问

我懂对t而言x可以看做常数 但对u=2x-t而言x为何可以看做常数？ u中是含有x的也就是说与x有关