Question

若关于x的不等式（a-2)x的平方+2（a-2)x-4<0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

a=2
则-4<0,,成立

a不等于2
二次函数恒小于0
则开口向下
a-2<0
a<2
且判别式小于0
4(a-2)²+16(a-2)<0
(a-2)(a+2)<0
所以-2<a<2

所以-2<a≤2

Answer 2

解：此题应分如下三种情况进行讨论。
（1）当a=2时，原不等式变为（a-2)x^2+2（a-2)x-4<0，整理得：-4<0，不等式对一切实数x恒成立。
（2）当a>2时，根据a的不同取值，不等式存在两种情况：即无解或有解。这不符合对一切实数x恒成立的已知条件。
（3）当a<2时，要使不等式（a-2)x^2+2（a-2)x-4<0对一切实数x恒成立，
必有4(a-2)²+16(a-2)<0 ①
∵ a<2，∴a-2<0，所以，将不等式①两边同时处以a-2可解得：a>-2
所以，-2<a<2
综上所述，要使关于x的不等式（a-2)x^2+2（a-2)x-4<0对一切实数x恒成立，实数a的取值范围为：-2<a≤2。