Question

定积分证明题

求证

Answer 1

这个不一定的，要看f(t)是什么函数。
比如，f(t)=e^(-2t)
∫（0，x）e^(-t)dt
=-e^(-t)|(0,x)
=-[e^(-x)-1]
取极限，
=1

追问

只知道x趋向正无穷时 lim f(x) =1

能证明吗

追答

考虑∫（0，x）e^tf(t)dt/x，
洛必达：e^xf(x)-》e^x->+∞

追问

这是原题和答案 证明这个怎么这么长 那个＞1/2又是什么意思

追答

根据极限定义，存在X0，x≥X0，所有的f(x)都>1/2,
这个证明比我的严密。
∫（0，+∞）e^tf(t)dt
=∫（0，X0）e^tf(t)dt+∫（X0，+∞）e^tf(t)dt
=C(前面定积分的值，常数）+∫（X0，+∞）e^tf(t)dt
>C+(1/2)∫（X0，+∞）e^tdt
=C+(1/2)(e^+∞-e^X0)
=+∞。
1/2，其实可以换成其他的数，0~1之间的非0值都可以。

追问

为什么0-1之间的值都可以 如果f(x)是递减的那不是＞1都可以

Answer 2

首先，这里的α是一个小于pi的数，那么实际上sinx在（α，pi-α）上在x=α处取最小值，这个很好理解吧。
然后这题其实是用的积分中值定理，把积分里面的sinx直接拿出来了。不过用了积分中值定理后应该是sinε，这里ε是在（α，pi-α）内的一个数，再利用我刚才说的sinx的去最小值的点，就不难得出这个不等式