Question

问一下这道解析几何的题目，谢谢

如图，谢谢大神🙏

Answer 1

(1)根据椭圆的对称性：|BF1|=|BF2|
∵∠BF2F1=π/3
∴△BF2F1是等边三角形
∴|F1F2|=|BF1|
由已知：a=2，|OB|=b，|F1F2|=2c，
|OF1|=|OF2|=c
则|BF1|=|F1F2|=2c
在Rt△BOF1中：|BF1|²=|OB|²+|OF1|
(2c)²=b²+c²，则3c²=b²
∵a²=b²+c²
∴2²=3c²+c²，则c²=1
∴b²=3c²=3
∴椭圆C为x²/4 + y²/3=1
(2)假设存在点P(p，0)使得AM•AN为定值
则当直线的斜率存在时，过点P的直线为：
x=ky+p
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)
将直线方程代入椭圆方程中：
3(ky+p)² + 4y²=12
3(k²y² + 2kpy + p²) + 4y² - 12=0
(3k²+4)y² + 6kpy + (3p² - 12)=0
根据韦达定理：y1+y2=-6kp/(3k²+4)
y1y2=(3p² - 12)/(3k²+4)
则x1+x2=ky1+p+ky2+p=k(y1+y2) + 2p
x1x2=(ky1+p)(ky2+p)
=k²y1y2 + kpy1 + kpy2 + p²
=k²y1y2 + kp(y1+y2) + p²