Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，P为线段AD1 上的点，且满足向量 D1P＝入向量PA

试证无论入为何值，三棱锥D-PBC1 的体积恒为定值

Answer 1

首先确定三棱锥底面为BPC1 在矩形ABC1D1中 可见三角形BPC1面积恒为矩形ABC1D1的一半是定值 再看三棱锥的高 过D作AD1的垂线 该垂线段的长就是三棱锥的高是定值 因此三棱锥体积是定值
得证

追问

为什么AD1的垂线就是就是这锥形的高

追答

所谓高线就要垂直于底面
于是证 设AD1垂线段为DE E在AD1上
在正方体中可得C1D1垂直于面AA1D1D 则C1D1垂直于DE
又因为DE垂直于AD1 则DE垂直于AC1D1 也就是AD1垂直于面AA1D1D
于是可知DE是该锥体的高

Answer 2

由D点向D1A做垂线DM，由正方体的特征易证DM垂直于平面ABC1D1，即垂直于平面PBC1，则DM是此三棱锥的高，及二分之根号二
底面PBC1的面积也是恒定的，因为P点到BC的距离即以BC为底边的高是恒定的，恒为一。
故总体积恒为定值。

追问

为什么是“P点到BC的距离”而不是“P点到BC1的距离”
如何证明DM垂直于平面ABC1D1