Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,CB＞CD,E、F分别是AB、CD的中点，且∠A+∠B=90°。求证：EF=1/2（AB-CD)

要思路，但过程也可以

Answer 1

证明：
作FG‖AD，交AD于点G，FH‖BC，交AB于点H
则四边形 ADFG和四边形BCFH都是平行四边形
∴AG=DE，HB=EC
∵E，F分别为AB、CD的中点
∴GH=AB-CD
∵∠A+∠B=90°
∠A=∠FGE，∠B=∠FHE
∴∠GFH=90°
∴FE是Rt△FGH的斜边中线
∴EF=1/2GH=1/2(AB-CD)

Answer 2

证明：过D作DM∥BC交AB于M,过D作DN∥EF交AB于N
得平行四边形BCDM,平行四边形EFDN
所以DB=FE,∠B=∠DMA,CD=BM,
因为∠A+∠B=90
所以∠A+∠DMA=90°
所以△ADM是直角三角形
因为AN=AE-EN
=AB/2-CD/2
=(AB-CD)/2
=AM/2
所以DN是直角三角形ADM斜边上的中线
所以DN=AM/2
即EF=(AB-CD)/2

追问

你说的方法我明白了。谢谢你，让我多学了一种解这道题的方法

Answer 3

证明：延长BC、AD相交于G，∠A+∠B=90°，∠AGB=90°，
∵AB∥CD，GF平分AB，∴GF平分CD，即GF交CD于CD的中点E，
∵E是AB的中点，∴GF=AB/2，同理，GE=CD/2，
∴EF=GF-GE=AB/2-CD/2=1/2(AB-CD)，证毕。

追问

你说的方法我明白了。谢谢你，让我多学了一种解这道题的方法

Answer 4

证明：延长AD、BC交于点O，连接OE、OF
∵∠A+∠B＝90
∴∠AOB＝180-（∠A+∠B）＝90
∵F是CD的中点
∴OC＝CF＝CD/2
∴∠OCF＝∠FOC
∵E为AB的中点
∴OE＝BE＝AB/2
∴∠OBE＝∠ECB
∵CD∥AB
∴∠OCF＝∠OBE
∴∠FOC＝∠ECB
∴C、E、F三点共线
∴EF＝OE-OF＝AB/2-CD/2＝1/2（AB-CD）