Question

如图,圆O1和圆O2是两个等圆,M是O1O2中点,直线CB经过点M交圆O1于CD,交圆O2于A,B，证AB=CD,AM=MD

Answer 1

证明：分别过O1,O2作O1E⊥AD,O2F⊥AD垂足分别为E,F
所以∠O1EM=∠O2FM=90°
因为∠O1ME=∠O2FM
O1M=O2M
所以△O1EM≌△O2FM
所以EM=FM,O1E=O2F
所以AB=CD(同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等)
所以AB/2=CD/2
即AE=DF
所以AE+EM=DF+FM
即AM=MD

Answer 2

证明：作弦心距O1E、O2F，
在△MEO1和△MFO2中，MO1=MO2、∠O1ME=∠O2MF、∠O1EM=∠O2FM=Rt∠，
∴△MEO1≌△MFO2，ME=MF、O1E=O2F，CD=AB；
∵ED=CD/2、FA=AB/2，∴ED=FA，ME+ED=MF+FA，即MD=MA，
综上得：AB=CD、AM=MD，证毕。