Question

数列an的前n项和记为Sn，a1=1,a(n+1)=2Sn+1(n大于等于1)

（1）求an的通项公式
（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.

Answer 1

(1)a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)]=2an
a(n+1)=3an
an=a1*q^(n-1)
q=3
当n=1时亦满足
所以an=a1*q^(n-1)=3^(n-1)

(2）a1=1,a2=3,a3=9
设数列{bn}公差为d
2b2=b1+b3；T3=b1+b2+b3=15
b1+b1+d+b1+2d=15；b2=5
由题意(a2+b2)^2=(a1+b1)*(a3+b3)
即8^2=9+b3+9b1+b1b3=9+b2+d+9(b2-d)+(b2-d)(b2+d)
解得d=-10或2
因{bn}各项均为正，所以d=2,Tn=n^2+2n

Answer 2

（1）由 a(n+1)=2Sn+1
可得 Sn + a(n+1) = 3Sn + 1
即 S(n+1) = 3Sn + 1
可得 S(n+1) + 0.5 = 3(Sn + 0.5 )
即 Sn + 0.5 是首项为S1+0.5=1.5，公比为3的等比数列
故 Sn = 1.5×3^(n-1) - 0.5
那么 an = Sn - S(n-1) = 1.5×(3^(n-1)-3^(n-2)) = 0.5(3^n - 3^(n-1)) = 3^(n-1) (n≥1)
（2）T3 = b1 + b2 + b3 = 3b2 = 3b1 + 3d = 15 则 b2 = b1 + d = 5
又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列
则 (a2+b2)x(a2+b2)=(a1+b1)x(a3+b3)
第一问已经求的 a1=1，a2=3，a3=9 代入有
(3 + 5)^2 = (1 + 5 - d)(9 + 5 + d ) = (6 - d)(14 + d) = 64 - 8d - d^2
解方程的d = 2，而d = -10 舍去，因为bn都是正数，如果公差小于零，则不肯能整个数列都是正的。
b1 = b2 - d = 5 - 2 = 3，则 Tn = 0.5n(a1 + an) = 0.5n(3+3+2(n-1)) = n(n + 2)

Answer 3

解：1)a(n+1)=2Sn+1 .......(1)
an=2S(n-1)+1 ........(2)
式（1）-（2）得
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)]=2an
a(n+1)=3an
an=a1*3^(n-1)=3^(n-1)

2)令bn=b1+(n-1)d
T3=b1+b1+d+b1+2d=3b1+3d=15
b1+d=5 ......(3)
∵a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列
∴(a2+b2)^2=(a1+b1)(a3+b3)
(3+b1+d)^2=(1+b1)(9+b1+2d) .......(4)
由式（3）（4）可解得：b1=3或15
∵bn的各项为正，∴b1=3
d=5-b1=2
bn=3+2(n-1)=2n+1
Tn=(b1+bn)n/2=n(n+2)

Answer 4

1 a(n+1)=2Sn+1
an = 2S(n-1)+1

减 a(n+1)-an=2an
a(n+1)=3an
an=3的(n-1)次方

2 (b1+b3)X3/2=15 b1+b3=10 b2=5

a1+b1=1+b1=1+5-d
a2+b2=8
a3+b3=9+b3=9+5+d

(6-d)(14+d)=64
d=-10或2

因为等差数列各项为正
所以 d=2
Tn=n^2+2n

没看懂的说~

Answer 5

(1)a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)]=2an
a(n+1)=3an
an=a1*q^(n-1)
q=3
当n=1时亦满足
所以an=a1*q^(n-1)=3^(n-1)

(2）a1=1,a2=3,a3=9
设数列{bn}公差为d
2b2=b1+b3；T3=b1+b2+b3=15
b1+b1+d+b1+2d=15；b2=5
由题意(a2+b2)^2=(a1+b1)*(a3+b3)
即8^2=9+b3+9b1+b1b3=9+b2+d+9(b2-d)+(b2-d)(b2+d)
解得d=-10或2
因{bn}各项均为正，所以d=2,Tn=n^2+2n