Question

线性代数矩阵秩的问题

请问各位 图中那道题怎么做 可以每一个选项都分析一下吗 基础不太好 谢谢

Answer 1

B不正确，r(A)=m时，A才是满秩矩阵， r(AB)=B。
A不正确, 只有r(A)<m， AX=0一定有非零解
C不正确. 必须保证A为方阵，且|A|≠0

追问

这个题是选不正确的 .......照你这样想 选ABC吗

追答

这题估计是出错了。。应该选正确的

Answer 2

不懂追问，望采纳谢谢
西尔维斯特不熟悉，使用方程组同解证明也是可以的

追问

请问能不能用简单的方法证明呀 我才打基础 看的确实费劲

追答

哪一问不清楚呢

追问

那个西尔韦斯特和解集秩在基础阶段听都没听过 所以说不太懂

追答

齐次线性方程组，解空间维数=未知数个数-系数矩阵的秩

西尔维斯特不属于考研大纲不会正常，但解集秩是书上有的东西，肯定会考哒

解集秩就是解空间维数

望采纳，谢谢～

其他答案都什么鬼?A又不是方阵，哪来的满秩矩阵?最多列满秩，非方阵，哪来的可逆(排除广义逆)?

说了这么多只求个采纳谢谢～

追问

不好意思 我还没看呢 一会就看 另一个大佬写的也不少 我都看看 明白了再采纳

追答

西尔维斯特不等式那是个大于等于号，我写错了哈，

不过不影响答案，毕竟R(AB)≤(A与B中秩较小的一个)

西尔维斯特不等式证明方法，可以通过弗罗贝尼乌斯不等式特例证明，或者利用此题C中的证明方法也可以

考研不考，但我建议你记住，因为很实用

追问

你好 感觉图片圈出来的这有点乱 bx＝0 哪来的呢 而且怎么还∵bx=0 ∴bx=0 再就是c选项 是哪一块知识呢 我可能还没学到那😂

追答

证明列数相同的矩阵秩相同，就是证明齐次线性方程组同解

c选项是矩阵那一部分的知识，定理：一切矩阵均可经过初等变换变成等价标准型

追问

你好 我还提问了两个问题 你看看有时间可以帮忙解答一下吗

https://zhidao.baidu.com/question/1964715990538373660.html

https://zhidao.baidu.com/question/1501277665439856539

Answer 3

选A啊，B,D对的啊，显然A为满秩矩阵啊，r（A）=min{m,n}，此时乘上一个矩阵只可能降秩，此时秩就由B决定啊

Answer 4

你承认AC 对就好
B是对的, 由一个不等式保证 r(A)+r(B)-n<r(AB)<min(r(A),r(B)) (在下面)
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9_(%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0)

因为r(A) = n, 所以 r(AB) = r(B)

Answer 5

A,C肯定错了。

追答

关键是B,D

A,B肯定对了才对。关键是B,D哪个错了

如图性质⑦

如果是AB，那么新的矩阵的秩要小于等于R（A）和R（B）。由于是B右乘A。那么B的秩应该小于等于n。这个是成立的。如果是B左乘A，那么B的秩小于等于m。又因为m是大于等于n的数。我们不妨在这种情况下，设B是h×m的矩阵。那么BA是h×n的矩阵。如果h≤m。那么这个结论无疑是成立的。如果h≥m。那么R（BA）≤m，R（B）≤n。因为题目说“任意矩阵B”。n＜h＜m的情况不讨论。裙子选D。关键是对矩阵的一些性质要清楚。不懂，可以翻翻书。仔细思考，反复斟酌。

我记得你问过一次吧。是不是我给你得答案没有看懂？

追问

你好 你解答的我有些地方不是很懂 题目中并没有说m大于等于n呀 再就是AC能给分析一下吗

追答

R（A）＝n。如果m＜n。因为矩阵和转置矩阵的秩相等。那么反过来（反证法）矩阵的秩不可能为n。而是小于m的数

小于等于m的数

C肯定是正确的。因为是“存在”。

不是转置矩阵。是A这个矩阵本身有m行n列。矩阵的秩是指列。而R（A）＝n。所以m≥n

矩阵的秩是对于“行”而言的。不是列。

对于选项A，R（A）＝n。因为矩阵和转置矩阵相等。A的转置矩阵是n行m列的矩阵。R（A）＝n说明矩阵A是满秩矩阵。满秩矩阵乘以另一个矩阵，得到的新矩阵想要为零矩阵。那么必有B本身就是零矩阵。