Question

数列{an}中，sn表示前n项和。若a1=1，sn+1=4an+2

Answer 1

S(n+1)=4an+2 Sn=4a(n-1)+2 S2=a1+a2=4a1+2=6 a2=5
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
(1) 所以bn=a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]=2b(n-1)
即{bn}是公比为2的等比数列
(2) 由(1) b1=a2-2a1=5-2*1=3
所以bn=a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
即an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
则an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
所以cn-c(n-1)=3/4
故{cn}是公差为3/4的等差数列
(3) 由(2) c1=a1/2=1/2
则cn=1/2+(n-1)*3/4=(3/4)n-1/4
即an/2^n=(3n-1)/4
所以通项公式an=(3n-1)*2^(n-2)，
a(n-1)=(3n-4)* 2^(n-3)，

由已知：Sn=4a(n-1)+2
所以Sn=4*(3n-4)* 2^(n-3) +2=(3n-4)* 2^(n-1)+2

Answer 2

(1) S(n+1)=4an+2
n=1时，S2=4a1+2
即a1+a2=4a1+2
a2=3a1+2=5
Sn=4a(n-1)+2
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
所以{a(n+1)-2an}是公比为2的等比数列
(2) 由(1) 首项=a2-2a1=5-2=3
所以a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
即a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3/4
所以{an/2^n}是公差为3/4的等差数列
(3) 由(2)的结论首项=a1/2=1/2
所以an/2^n=1/2+(3/4)(n-1)=(3/4)n-1/4
故an=(3n-1)*2^(n-2)
Sn=1+5+8*2+11*2^2+...+(3n-1)*2^(n-2)
2Sn=2+5*2+8*2^2+11*2^3+(3n-1)*2^(n-1)
Sn-2Sn=1+3+3*2+3*2^2+...+3*2^(n-2)-(3n-1)*2^(n-1)
-Sn=1+3[(2^(n-1)-1]/(2-1)-(3n-1)*2^(n-1)
Sn=(3n-1)*2^(n-1)-3*2^(n-1)+3-1
所以Sn=(3n-4)*2^(n-1)+2
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 3

S(n+1)=4an+2 Sn=4a(n-1)+2 S2=a1+a2=4a1+2=6 a2=5
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
(1) 所以bn=a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]=2b(n-1)
即{bn}是公比为2的等比数列
(2) 由(1) b1=a2-2a1=5-2*1=3
所以bn=a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
即an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
则an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
所以cn-c(n-1)=3/4
故{cn}是公差为3/4的等差数列
(3) 由(2) c1=a1/2=1/2
则cn=1/2+(n-1)*3/4=(3/4)n-1/4
即an/2^n=(3n-1)/4
所以通项公式an=(3n-1)*2^(n-2)，
a(n-1)=(3n-4)* 2^(n-3)，

由已知：Sn=4a(n-1)+2
所以Sn=4*(3n-4)* 2^(n-3) +2=(3n-4)* 2^(n-1)+2

抓住条件，分析就好了。