Question

请教一道高中数学题

已知函数f(x)=x+alnx，其中a为常数，且a小于等于-1
1.当a=-1时，求f（x）在【e，e方】（e=2.71828……）上的值域
2.若f(x)小于等于e-1对任意x属于【e，e方】恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

具体过程请看下图，如有错漏，请指正

Answer 2

1.对f(x)求导得f'(x)=1-1/x,令f'(x)=1-1/x>0得x>1或x<0即在（1，正无穷）单调递增,算出f(e)，f(e^2)即可
2,对f(x)求导得f'(x)=1+a/x.令f'(x)=1+a/x>0得x>-a或x<0,即在（-a，正无穷）单调递增,再讨论-a与e的关系，就可以得出f(x)的最大值，最大值小于e-1即可得出a的范围

Answer 3

⒈ 函数的定义域是x>0
令f '(x)=1-1/x>0，得x>1，
令f '(x)=1-1/x<0，得0<x<1，
令f '(x)=1-1/x=0，得x=1，
可得x=1是函数f(x)=x+alnx的极大值点，函数f(x)=x+alnx在[e，e方]上递减
所以值域为[e-1,e^2-2]

⒉求导并令f '(x)=1+a/x=0，得x=-a，∵a<=-1，∴x=-a为极大值点
∴⑴-a<e，即a>-e
得e+a<=e-1,a<=-1
所以 a∈(-e，-1]；
⑵e<=-a<=e^2，即-e^2<=a<=-e
得-a+aln(-a)<=e-1，a<=-1恒成立
所以a∈[-e^2，-e]；
⑶-a>e^2，即a<-e^2
得e^2+2a<=e-1,a<=-1
所以a∈（-∞，-e^2)；
综上a∈（-∞，-1]