Question

一道高数题求助，答案是非极值

Answer 1

由lim(x→0,y→0)[f(x,y)-axy]/(x^2+y^2)^2＝1，有
[f(x,y)-axy]/(x^2+y^2)^2＝1+α, 其中lim(x→0,y→0)α＝0.
⥤ f(x,y)＝(1+α)(x^2+y^2)^2+axy. ①
利用①式考察f(0,0)是否极值，容易看出f(0,0)＝0，但在点(0,0)的无论多小的邻域内，都既有使xy＞0的点(x,y)存在，也有使xy＜0的点(x,y)存在（从z＝xy的图形是马鞍面很容易看到这一点）。而在点(0,0)的足够小的去心邻域内①式右端的值的符号取决于axy(因为前一项当ρ＝√(x^2+y^2)→0时是高阶无穷小)，这样就在点(0,0)的无论怎样小的去心邻域内，都有点(x,y)使得f(x,y)＞0＝f(0,0)，也都有点(x,y)使得f(x,y)＜0＝f(0,0).所以，f(0,0)不是极值。

Answer 2

xy趋于(0，0)时极限为1，根据极限保号性，那么xy在(0，0)的某个邻域内，极限＞0，分母显然大于0，所以分子f(x，y)-axy也大于0,即f(x,y)＞axy。
由已知条件，将(0,0)带入极限表达式，分母趋于0+，分子f(0,0)－axy也要趋于0+，所以f(0,0)=0要使f(0,0)为极值点就要f(x,y)<f(0,0)=0或者f(x,y)>f(0,0)=0。但是题目只能推出f(x,y)＞axy，axy在(0，0)某邻域内显然符号可正可负。因此不能推出f(0,0)为极值点。
补充:这个题如果分母变成f(x,y)-x^2那么f(0,0)就是极小值点了，因为这时f(x,y)>x^2>0=f(0,0),即在(0，0)某邻域内，有f(x,y)>f(0,0)，希望题主对比着理解分析。