Question

不定积分计算问题

6,10

Answer 1

6题，设x=asinθ，原式=I。∴I=∫(0,π/2)cosθdθ/(sinθ+cosθ)。再令θ=π/2-t，
∴I=∫(0,π/2)sintdt/(sint+cost)。与位换元前的I相加，∴2I=∫(0,π/2)dθ=π/2。∴原式=π/4。
10题，设x=π-t，原式=I。∴I=∫(0,π)(π-t)[(sint)^6](cost)^4dt=π∫(0,π)[(sint)^6](cost)^4dt-∫(0,π)t[(sint)^6](cost)^4dt。
∴I=(π/2)∫(0,π)∫(0,π)[(sint)^6](cost)^4dt。再将积分区间拆成[0,π/2]∪[π/2,π]，并对后一个积分作t=π/2+θ变换，
∴原式=(π/2)∫(0,π)∫(0,π/2)[(sint)^4](cost)^4dt。
而，[(sint)^4](cost)^4=(3-4cos4t+cos8t)/128，∴原式=3π²/512。
供参考。

Answer 2