Question

正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

Answer 1

略解：
由题意可将此正六边形分为3部分，如图中两侧的两个钝角三角形和中间的一个矩形
记两侧的这两个全等的钝角三角形的面积为2S三角形，中间的矩形面积为S矩形
并设正六边形的边长是a
则：S正六边形＝2S三角形+S矩形＝6 （*）
因为正六边形边长是a，内角均为120°
所以由三角形面积公式，有：
S三角形=1/2 *a*a*sin120°=√3*a²/4
又中间的矩形的宽是a，其长可由余弦定理得√(a²+a²-2a*a*cos120°)=√3a
则S矩形=√3a*a=√3*a²
所以由（*）式可得：
√3*a²/2 +√3*a²=6
即3√3*a²/2=6
所以√3*a²＝4即S矩形＝4
以下分析阴影部分与矩形的面积中间的关系：
由割补法可将此阴影所成的平行四边形的上半部分三角形补到下半部分，组成一个小矩形，可知这个小矩形的面积与所求的阴影部分的面积相等
由正六边形的性质易知：
此小矩形与已知矩形的长之比为2：3
由于它们的宽相等，所以小矩形与已知矩形的面积之比是2：3
即S阴影：S矩形＝2：3
所以S阴影＝2S矩形/3=8/3 (面积是3分之8)

Answer 2

略解：
由题意可将此正六边形分为3部分，如图中两侧的两个钝角三角形和中间的一个矩形
记两侧的这两个全等的钝角三角形的面积为2S三角形，中间的矩形面积为S矩形
并设正六边形的边长是a
则：S正六边形＝2S三角形+S矩形＝6 （*）
因为正六边形边长是a，内角均为120°
所以由三角形面积公式，有：
S三角形=1/2 *a*a*sin120°=√3*a²/4
又中间的矩形的宽是a，其长可由余弦定理得√(a²+a²-2a*a*cos120°)=√3a
则S矩形=√3a*a=√3*a²
所以由（*）式可得：
√3*a²/2 +√3*a²=6
即3√3*a²/2=6
所以√3*a²＝4即S矩形＝4
以下分析阴影部分与矩形的面积中间的关系：
由割补法可将此阴影所成的平行四边形的上半部分三角形补到下半部分，组成一个小矩形，可知这个小矩形的面积与所求的阴影部分的面积相等
由正六边形的性质易知：
此小矩形与已知矩形的长之比为2：3
由于它们的宽相等，所以小矩形与已知矩形的面积之比是2：3
即S阴影：S矩形＝2：3
所以S阴影＝2S矩形/3=8/3 (面积是3分之8)

Answer 3

8/3