Question

红线怎么化简得出的呢

Answer 1

第一处：
令tanx＝t后，x＝arctant，dx＝1/(1+t^2) dt。将tanx＝t、dx＝1/(1+t^2)dt代入原积分即得。
第二处：
1/(1+u^4)＝1/[(1+u^2)^2-2u^2]
＝1/[(1-√2u+u^2)(1+√2u+u^2)]
＝1/(2√2) [1/(1-√2u+u^2)-1/(1+√2u+u^2)]
第三处：
∫1/(u^2+√2u+1) du
＝∫1/[(u+√2/2)^2+1/2] d(u+√2/2)
＝1/(1/√2)arctan[(u+√2/2)/(1/√2)]+C
＝√2arctan(√2 u+1)+C.

追问

划线处怎么得出的呢

追答

第二处我回答有笔误，整个被积函数分子上是u，不是1。改正后，划线部分成立是由于
(u^2+√2u+1)-(u^2-√2u+1)＝2√2u
第二个划线部分利用的是公式
∫1/(t^2+a^2) dt＝1/a arctan(t/a)+C

追问

请问绿线怎么得出的呢

追答

第一项是利用反双曲正切函数定义得到的，第二项利用公式arctant＝arccot(1/t)，有
arctan[√2u/(1-u^2)]
＝arccot(1/√2u-u^2/√2u)
＝arccot[1/(√2√tanx-√tanx/√2)
＝arccot[√(cotx/2)-√(tanx/2)]

有关反双曲正切函数的具体表达式我记不太清了，但推导起来不难：先由双曲正弦函数sinhx和双曲余弦函数coshx的表达式，求出tanhx＝sinhx/coshx的表达式，再求出其反函数即可

其实，在正式考试中，像这样的问题写到倒数第二个等式后，以括号形式注明u＝√tanx即可，不会丢任何分数的