Question

请问三个线性无关的向量α1,α2,α3的线性组合中，只有两个是线性无关的吗？

比如α1-α2，和α3-α2，这两个向量一定是线性无关的吗？α1-α2和α3-α2和α1-α3一定线性相关吗？如何证明？

Answer 1

a1，a2，a3 线性无关，则
（1） a1-a2，a3-a2 线性无关。
证明：设 k(a1-a2)+m(a3-a2)=0，则 ka1+(-k-m)a2+ma3=0，
由于 a1，a2，a3 无关，因此 k=-k-m=m=0，
因此 a1-a2，a3-a2 线性无关。
（2）a1-a2，a3-a2，a1-a3 线性相关。
证明：因为 (a1-a2) - (a3-a2) - (a1-a3)=0，
即 存在不全为 0 的 1、-1、-1 使它们的线性组合为 0 向量，
因此线性相关。

追问

谢谢啦，之前有的题就被你完美解答过，所以一看到你的头像我就知道答案来了~~

追答

哈哈多谢你的信任。我也是略知一二而已😄