Question

已知直线l经过点P（1，4）分别交x轴，y轴正半轴A,B其中O为原点

（1) 当△AOB的面积最小时 求直线L的方程
（2）当丨OA丨+丨OB丨最小时 求直线L的方程
（3）丨PA丨*丨PB丨最小时，求直线L的方程

Answer 1

直线l经过点P（1，4）分别交x轴，y轴正半轴A,B其中O为原点，设直线L的斜率为-K，得：
△AOB的面积=4+1/2*k*1+1/2*4*4/k=4+k/2+8/k
设S=k/2+8/k s=(k^2+16 ) /2k s=4+(k-4)^2/2 得K=4时，S最得最小值4。
所以有：△AOB面积的最小值=4+1/2*k*1+1/2*4*4/k=4+k/2+8/k=4+4=8
丨OA丨+丨OB丨=1+4+k+4/k=5+k+4/k
设l=k+4/k=(k^2+4)/k=(k-2)^2/k+4 当k=2时，l取得最小值4
所以有：当丨OA丨+丨OB丨最小时 直线L的斜率为：-2 且过点（1，4），得直线l的函数式为：y=-2x+c 4=-2+c c=6 得：y=-2x+6
当k=1时，丨PA丨*丨PB丨取得最小值为8，此时l的函数式为：y=-x+c 过 点（1，4） 4=-1+c c=5 得：y=-x+5

Answer 2

设直线与X负方向的夹角是C，那你从P点分别做X,Y轴的垂线，有直角三角形的知识可以知道
OA=1+4/ tanC，OB=4+ tanC，面积是（1+4/ tanC）（4+ tanC）/2，展开运用均值不等式可知tanC=4是最小，直线方程是Y=-4X+8