Question

在△ABC中,已知向量AB*向量AC=向量BA*向量BC

1：求证|向量AC|=|向量BC|
2：若|向量AC+向量BC|=|向量AC-向量BC|=根号6，求|向量BA-t向量BC|的最小值以及相应的t的值

Answer 1

向量两个字我就省略了
(1)AB*AC=BA*BC
(AC+CB)*AC=(BC+CA)*BC
(AC-BC)*AC=(BC-AC)*BC
AC²-BC*AC=BC²-AC*BC
AC²=BC²
|AC|=|BC|
(2)|AC+BC|=|AC-BC|=√6
由|AC+BC|²=|AC-BC|²可得AC*BC=0即AC⊥BC
又|AC-BC|=|AC+CB|=|AB|=√6 所以|AC|=|BC|=√3
|BA-tBC|=|BC+CA-tBC|=|CA+(1-t)BC|
|BA-tBC|²=|CA+(1-t)BC|²
=CA²+2tCA*BC+(1-t)²BC²
=3+0+3(1-t)²
=3(1-t)²+3
所以当t=1时，|BA-tBC|最小值为√3

追问

倒数第7排
又|AC-BC|=|AC+CB|=|AB|=√6 所以|AC|=|BC|???=√3
是CB吗？

追答

|AC-BC|=√6可以化到|AB|=√6
前面已证 AC⊥BC，|AC|=|BC|
故ΔABC是以|AB|=√6为斜边的等腰直角三角形
那腰长为|AB|/√2=√3，即|AC|=|BC|=√3

Answer 2

（1）由题意得
bccosA=3accosB
所以bcosA=3acosB
所以sinBcosA=3sinAcosB
同除以cosA，得sinB=3cosB\tanA
所以tanB=3tanA
（2）这一小题只要根据正弦定理a\sinA=b\sinB=c\sinC
求出A就行了，我手机打字不太方便就不写了
如果满意，望采纳，谢谢