Question

f(x)对于任意实数xy总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立，求证f(x)为偶函数

Answer 1

首先令y=0代入得 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
则令x=0代入
得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）
由于f（0）=1
所以f（y）+f（-y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）
对于任意实数都有f（-y）=f（y）
所以函数为偶函数。

追问

证明f（x）是偶函数啊

追答

LZ你理解错了吧！
这里的y并不是映射中的y
这里的y与x的意义相同，只不过字母不同
你应该把它想象成是x

追问

说清楚些，我是新高一的

追答

f：只是一个映射关系
f(y)与f(X)符合这一种映射关系
而y与x一样可以取任何值
根据偶函数的定义：
f（-y）=f（y）
所以不就得出了
LZ你再好好理解一下，函数的映射
这一块内容是高一的难点……能理解你的苦境！
加油

Answer 2

令y=0，则有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
令x=0，y=x，则有f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)
所以f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数