Question

z变换的性质

Answer 1

根据以上讨论，Z变换和频谱是同一类概念，二者之间仅仅是一种符号的代换，因此，Z变换具有与频谱相同的性质。在数据处理中，根据实际问题的需要和处理上的方便，可以从Z变换和频谱中任选其一。

1.线性叠加信号的Z变换

若

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式中收敛域(R_-，R₊)为收敛域(R_x-，R_x+)和收敛域(R_y-，R_y+)的公共收敛域，即

R_-=max［R_x-，R_y-］，R₊=min［R_x+，R_y+］

2.移位信号的Z变换

离散序列x(n)，其中n表示时间，延迟时间τ发出这个信号，便得到x(n-τ)，我们称x(n-τ)为x(n)的时移信号或移位信号。移位信号的Z变换与原来信号的关系就是时移定理:

若x(n)X(Z)，则移位信号

反之Z^τX(Z)所对应的信号是x(n-τ)。

例 设y(n)Y(Z)，求Z³y(z)，y(Z)+6Zy(Z)+7Z⁵y(Z)所对应的信号。

按照时移定理，Z³y(Z)所对应的信号为y(n-3)，y(Z)+6Zy(Z)+7Z⁵y(Z)所对应的信号为y(n)+6y(n-1)+7y(n-5)。

3.负幂(翻转信号)的Z变换

若离散序列

x(-n)可视为x(n)的翻转信号，则

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4.序列与指数相乘

若

则

5.微分

若

则

6.共轭信号的Z变换

若

则

7.褶积信号的Z变换

若

则

收敛域为两个序列收敛域的公共部分

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若极点消去，收敛域可扩大

证明:

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8.相关的Z变换

实离散序列x(n)与y(n)的相关r_xy(n)，实际上也是一种褶积r_xy(n)=x(n)*y(-n)，按照褶积和翻转信号Z变换的性质，可得到相关序列r_xy(n)的Z变换为

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特别地，自相关序列r_xx(n)=x(n)*x(-n)的Z变换为

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设离散信号为

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则g(n)的Z变换为

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g(n)的自相关函数r_gg(n)的Z变换为

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9.逆Z变换

由于频谱与Z变换之间只是一种符号的代换，实质并未改变。因此由频谱的性质可以得出Z变换相应的性质。例如，信号与其频谱具有单值对应性，信号与其Z变换也具有单值对应关系，或者说Z变换的展开式具有唯一性。利用唯一性，我们可以从Z变换的展开式中直接求得相应的离散序列。

例1 已知x(n)的Z变换为

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求x(n)。

根据Z变换公式(5-2-2)， ，可以得到

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例2 已知b(n)的Z变换为B(Z)=Z-α，求b(n)。

同样根据Z变换公式(5-2-2)， ，可以得到

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或写成b(n)=(-α，1)

例3 已知g(n)的自相关函数r_gg(n)的Z变换为

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由单值对应性可知r_gg(n)为

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Answer 2