Question

如图,已知,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,EF垂直平分AD,分别交AB、AD于E、F

求证：CE⊥BD

Answer 1

证明：因为 AB=AC，角A=36度，
所以 角ABC=角ACB=36度，
因为 BD平分角ABC，
所以 角ABD=角CBD=36度，
所以 三角形ABC相似于三角形BDC，AD=BD=BC，
所以 BD/BC=DC/BC，即：AD^2=AB*DC，
连结ED，
因为 EF垂直平分AD，
所以 AE=DE，
所以 角ADE=角A=36度，
所以 三角形ABD相似于三角形ADE，
所以 AD/DE=AB/AD，即：AD^2=AB*DE，
所以 DC=DE，
因为 角ADE=36度，
所以 角ACE=角DEC=18度，
因为 角ACB=72度，
所以 角ECB=54度，
所以 角ECB+角CBD=90度，
所以 角BOC=90度，
所以 CE垂直于BD。

Answer 2

在△ABC中，∵AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
必有AD=BD=BC；
∵EF垂直平分AD，∴AE=ED，∠ADE=∠A=36°，
于是∠BDE=180°-∠ADE-∠BDC=180°-36°-72°=72°，
那么△BDE≌△BDC，得BE=BC，DE=DC，
可见B和D都在CE的垂直平分线上，就是CE⊥BD。