设(A,*)是代数系统,*是可结合的，b=a2,c=b2,d=c2证明代数运算*满足交换律
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证明：这里A={a,b,c,d}.
因为 (A,*)是代数系统, *是可结合的, b=a*a, c=b*b, d=c*c,
所以a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a;
a*c=a*(b*b)=a*(a*a*a*a)=(a*a*a*a)*a=(b*b)*a=c*a;
a*d=a*(c*c)=(a*c)*c=(c*a)*c=c*(a*c)=c*(c*a)=(c*c)*a=d*a;
b*c=b*(b*b)=(b*b)*b=c*b;
b*d=b*(c*c)=(b*c)*c=(c*b)*c=c*(b*c)=c*(c*b)=(c*c)*b=d*b;
c*d=c*(c*c)=(c*c)*c=d*c.
于是代数运算*满足交换律.
因为 (A,*)是代数系统, *是可结合的, b=a*a, c=b*b, d=c*c,
所以a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a;
a*c=a*(b*b)=a*(a*a*a*a)=(a*a*a*a)*a=(b*b)*a=c*a;
a*d=a*(c*c)=(a*c)*c=(c*a)*c=c*(a*c)=c*(c*a)=(c*c)*a=d*a;
b*c=b*(b*b)=(b*b)*b=c*b;
b*d=b*(c*c)=(b*c)*c=(c*b)*c=c*(b*c)=c*(c*b)=(c*c)*b=d*b;
c*d=c*(c*c)=(c*c)*c=d*c.
于是代数运算*满足交换律.
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