Question

利用拉格朗日中值定理证明不等式

Answer 1

另f（x）＝arctanx，则f'（x）＝1/（1＋x^2）
由拉格朗日中值定理有存在实数c，使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0）
再此取x0＝0，则f（0）＝0
应用上面的等式，便有arctanx=x/(1+c^2)，其中0＜c＜x
又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2
所以1/（1＋x^2）
＜1/（1＋c^2）
＜1
又因为x＞0，所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x
故原不等式成立。