Question

1、求一个正交变换，将二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+4x2x3化成标准形。

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3

|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).

所以 A 的特征值为 1,2,5.

A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.

A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1

r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3

r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1

(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.

A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2

r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0

(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'

令 P = (b1,b2,b3), 则 P 是正交矩阵, 且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换, 满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.

追问

答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2. 有区别么

追答

没区别
只是要注意: P的列向量与特征值1,2,5的对应

如果答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2
P应该是 (b2,b1,b3)