Question

求线性代数题答案 问题详见补充

2、已知二次型f（x1,x2）=5x12+2a x1x2+5x22(a>0)经正交变换x=Py化成了标准形f=7y12+b y22,求a,b的值及所有正交变换的矩阵P。

Answer 1

解: 由已知, 二次型f的矩阵 A =
5 a
a 5
与 B =
7 0
0 b
相似.

而相似矩阵有相同的行列式和迹, ----!!!知识点!!!
所以
|A| = 25-a^2 = 7b = |B|
tr(A) = 5+5 = 7+b = tr(B)
解得: b=3, a=2 (因为a>0, 故舍弃a=-2)

所以A的特征值为 λ1=7, λ2=3.

A-7E=
-2 2
2 -2
-->
1 -1
0 0
得特征值 (1,1)', 单位化得 a1=(1/√2,1/√2)'.

A-3E=
2 2
2 2
-->
1 1
0 0
得特征值 (1,-1)', 单位化得 a2=(1/√2,-1/√2)'.

令P=(a1,a2)=
1/√2 1/√2
1/√2 -1/√2
则X=PY是正交变换, 使得 f = 7y1^2+3y2^2.

Answer 2

A=5 a B=7 0
a 5 0 b
f=x^TAx=(Py)^TA(Py)=y^T(P^TAP)y
则B=P^TAP=P^(-1)AP
则B∽A
|B|=7b=|A|=25-a²
|A-λE|=5-λ a =λ²-10λ+25-a²
a 5-λ
|B-λE|=7-λ 0 =λ²-(7+b)λ+7b
0 b-λ
因为相似矩阵有相同的特征多项式
所以10=7+b 25-a²=7b
得b=3，a=2
特征值为λ1=7，λ2=3
对应的特征向量为p1=1 p2=1
1 -1
单位化得e1=1/√2 e2=1/√2
1/√2 -1/√2
P=1/√2 1/√2
1/√2 -1/√2