Question

这道高数积分题跪求大佬支援！

Answer 1

Answer 2

分析，本题考查全微分判定定理

全微分判定定理：

设函数P(x,y)和Q(x,y)在其单连通定义域D内有定义，则形如：

P(x,y)dx+Q(x,y)dy的二元微分式在D内是某一函数z(x,y)de 全微分的充分必要条件是：

∂P/∂y = ∂Q/∂x

上述定理证明已经超出高数大纲，这里不再深入说明！

解：

令：

P(x,y)=y/x +2x/y，

Q(x,y)=lnx-x²/y²

其中：D是其定义域，显然：D∈{(x,y)|x>0,y>0}

∂P/∂y = (1/x)-(2x/y²)

∂Q/∂x =(1/x)-(2x/y²)

∵ 

∂P/∂y=∂Q/∂x

∴(y/x +2x/y)dx+(lnx-x²/y²)dy是在定义域D内的某个函数的全微分

假设该函数为：z(x,y)，则必有：

∂z/∂x = P(x,y)

∂z/∂y = Q(x,y)

∴

z(x,y) =∫P(x,y)dx =∫(y/x +2x/y)dx = ylnx+x²/y+C'(y)，其中C'(y)是仅包含y的函数；

z(x,y) =∫Q(x,y)dy =∫(lnx-x²/y²)dy =ylnx +x²/y+C''(x)，其中C''(x)是仅包含x的函数；

在D内，必有：

ylnx+x²/y+C'(y) = ylnx +x²/y+C''(x)

C'(y)=C''(x)

上式在D内恒成立，因此：

C'(y)=C''(x) =0

因此：

z(x,y) =ylnx +x²/y