Question

关于一个排列组合的数学问题

举个简单的例子作为示范： 现有甲乙丙3个人，从其中任选2个人去参见某项活动，请问甲被选中的概率为多少？ 我有两种解题思路： （由于没去上学，高中课本里面的排列组合是自习的，所以也不知道规范不） 第一种，用排列求解： a、首先是3中取2，一共有6种排列，也就是排列数为A=6， b、甲被选到可以分为两类：①甲、X： 1X2 ②X、甲： 1X2， c、那么甲被选到的概率为：（①+②）：A ☞ 2/3。 第二种，用组合求解： a、同样3中取2，一共有3种组合，也就是组合数B=3， b、由于有两人组成，甲被选到后占了一个位置，剩下一个位置上可以是乙或丙， 所以组合数C：2中取1，有两种，也就是C=2， c、那么甲被选到的概率为：C：B=2/3。 疑问： 1、上面的解题思路是正确的吗？ 2、有什么地方不对，或者描述不恰当的地方吗？ 3、如果是正确的，那么我再问一个问题，看看大家能用这两种思路解这个题目不，就 是把这种思路推广到其他题目上面。（呵呵，见笑了，知道意思就可以，别扣字眼） 问题：现有15个大小形状相同的小球，其中6个白球、5个黑球、4个红球，若同三向其中取三个，问拿到白球、黑球、红球各为1个的概率是多少？ 4、用上面两种思路解答？ 5、有更好的思路吗?

Answer 1

排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。
组合的定义：
从m个不同的元素里，每次取出n个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。
它们的区别在于排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合。
现在回答你的问题：
上面的解题思路是正确的。
但是如果你下面的题也同样采用上面的方法一（即用排列的方法），则过程是很复杂的，它要求将所有可能的排列顺序都罗列出来才才能求出概率。（具体是：红白黑、红黑白、白黑红、白红黑、黑白红、黑红白）。
a、首先从15个中取三个来排列，所以A=15*14*13=2730
b、白黑红色球各取一个，则需要在6个白球、5个黑球、4个红球中各取一个，有6*5*4=120种取法，然后再将取出来的球进行排列B=120*6=720种不同的排列。
c、所以其概率为：B:A=24/91
显然这里使用组合的方法是很方便的，由于不考虑每次取到球的颜色先后顺序，我们直接采用组合求解：
a、首先从15个中取3个，所以B=（15*14*13）/（3*2*1）=455
b、由于要求在白黑红球各取一个，所以C=6*5*4=120
c、答案即为C:B=24/91
还有更好的方法，则是用到大学概率统计中分布函数的方法，直接使用超几何分布公式即可求解。这里不作介绍。
希望能帮到你！