Question

已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1,且f(1)=1.

（1）若x属于正整数，试求f(x)的解析式；
（2）若x属于正整数且x大于等于2，不等式f(x)大于等于（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

令y=1 则f(x+1) = f(x) + f(1) + 2*(x +1) +1 = f(x) + 2x +4
f(n+1) - f(n) = 2*n +4
f(n) - f(n-1) = 2*（n-1） +4
f(n-1) - f(n-2) = 2*（n-2） +4 、、、、、、
f(2) - f(1) = 2*1 + 4
顺序相加得
f(n+1) - f(1) = 2*[n +（n-1）、、、、+1] +4*n = n*(n+3)
f(n) = (n - 1) * (n + 2) +1
f(n)大于等于（a+7）n-（a+10） 可化为
n^2 + n +1 -(a+7)n +(a+10) >=0 n^2 - (a+6)n + a+11 >=0
delta = (a+6)^2 -4*(a+11) >=0
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