Question

为啥完全平方数的因数个数是奇数个? 小于1000只有15个因数的自然数最大是多少?

Answer 1

因为一个数的因数总是成对的，比方说A是N的因数，那么N/A必然也是N的因数。A * N/A = N。
而当N是完全平方数时，必然有一对A = N/A，A*A = N。那么A、N/A就不需要算两次了。因数个数必然比偶数少1。

小于1000的有15个因数的自然数最大是784。
从1000往下数完全平方数，有
961、900、841、784……
逐个检查他们的因数个数
961 = 31^2，因数个数为2+1=3
900=2^2×3^2×5^2，因数个数为(2+1)*(2+1)*(2+1) = 27
841 = 29^2，因数个数为2+1=3
784=2^4×7^2，因数个数为(4+1)*(2+1)=15 符合且最大

你也可以参考因数个数公式，更加直观：baike.baidu.com/view/1780622.htm

Answer 2

每个合数的因数都是成对出现的，所以一般情况下，全体因数的个数和是偶数。但由于完全平方数的一对因数是相同的数，这样就有了一个奇数，那么偶数加上奇数，所以完全平方数的全体因数的个数是奇数。