Question

limxtan1/x 其中x→ 无穷 求过程

Answer 1

lim(x→∞)x*tan(1/x)
=lim(x→∞)tan(1/x)/(1/x)
令α=1/x，得：
lim(x→∞)x*tan(1/x)
=lim(α→0)tan(α)/α
由于是0/0的极限类型，所以我们可以用洛比达法则：
lim(α→0)tan(α)/α
=lim(α→0)[tan(α)]'/(α)'
=lim(α→0)[sec²(α)]/1（[tan(α)]'=sec²(α)）
∵α→0
∴sec²(α)=1
∴lim(x→∞)x*tan(1/x)=1

追问

那如果是这样的情况了啊
lom sim^2乘(x-1)/x-1 其中x→1 我的理解是这样的{ 令1/2^x=t 则原式变为： lim sint /t (此时t→0）则原式的结果为1 }
还有lim2^x 乘sin1/2^x 其中x→无穷
这俩种情况也可以用哪个法则吗？

追答

“lom sim”这个恕我驽钝，我也是刚刚开始看高数，这个不知道是神马意思……
“lim2^x 乘sin1/2^x 其中x→无穷”这个情况也是可以用洛必达法则的，下面我来说一下什么类型的极限可以用洛必达法则：
0/0；∞*0，1^∞；∞^1
下面我来举个例子：
x趋于0，求f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)的极限
∴两边同时取自然对数时，有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
以上例子就是1^∞的类型的极限求法，为什么我说以上例子是1^∞的类型，∵lim（x→0）（1+x）^(1/x)=e

Answer 2

xtan(1/x)=tan(1/x)/(1/x)
x→∞则1/x→0
所以原式=1