Question

设函数 f(x,y) =xy/(x^2+y^2),当(x,y) ≠(0,0),当（x,y）=(0,0).f(x,y)=0,

Answer 1

多元函数要想有极限，必须且只需当(x，y)沿任何方式趋于（0，0）（我只以原点为例说明），
函数f(x，y)有相同的方式。一般证明函数极限存在时不用这个结论，因为比较麻烦。
但证明极限不存在时用这个结论的反面：极限不存在当且仅当有两种不同的方式，使得
函数极限不相等。比如本题：
你找到了两个不同的方式：x＝ky^2，随着k的不同，这是无数种趋于原点的方式，
在这些方式中，极限是k/(k^2+1)，也是随着方式的不同而变化的，因此函数极限不存在。
另外，函数在该点连续，则函数极限必存在且等于改点的函数值。这是充要条件。
反之，极限不存在，或极限存在但不等于函数值，函数在改点不连续。
这些都是最基本的定义，是需要记住的。

Answer 2

(x，y)→(0,0)limf(x,y)的值与动点趋于(0,0)的路线有关，不恒等于f(x,y)在(0,0)的定义，
∴z=f(x,y)在(0,0)不连续。