Question

极坐标的定义域是怎么规定的？如题：曲线r=(sinθ/3)^3，如果求他的长度...

Answer 1

很久很久以前的教材曾经规定ρ可以取负数，极坐标点(-2,1)表示在射线θ=1反向延长线上距离原点2的那个点，弄得很复杂。
现在规定ρ取非负实数，就简单多了，即现在的极坐标点的第1个坐标是不可以为负数的，上面这个点的坐标应该表示为(2,1+π)，所以你说“ρ属于R”相对于现在普遍的概念是错误的。
ρcosθ=1，即ρ=1/cosθ
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ρ=secθ表示一条直线，θ可以取一切它可以取的实数（当然必须不能使ρ为负数），既然定义域是使算式有意义的的一切实数，按照我们的约定，定义域是不必说的。
注意：极坐标下的曲线通常是以θ为自变量的，有必要时需要交代的也是θ的取值范围，没有交代ρ的取值范围的。