Question

超难数学题

Answer 1

因x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=(x-y)^2/2+(y-z)^2/2+(x-z)^2/2≥0
即x^2+y^2+z^2≥xy+xz+yz（当x=y=z时等式成立）
xy+xz+yz=(2xy+2xz+2yz)/2=[x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)]/2
=[x(2-x)+y(2-y)+z(2-z)]/2=[2x+2y+2z-(x^2+y^2+z^2)]/2=2-(x^2+y^2+z^2)/2
代入得：
(x^2+y^2+z^2)≥2-(x^2+y^2+z^2)/2
x^2+y^2+z^2≥4/3（当x=y=z时等式成立）
因：(x^2+y^2+z^2)/2≥2/3
故：-(x^2+y^2+z^2)/2≤-2/3
2-(x^2+y^2+z^2)/2≤2-2/3
得到xy+xz+yz≤4/3（当x=y=z时等式成立）
-(xy+xz+yz)≥-4/3
-8(xy+xz+yz)≥-32/3
27-8(xy+xz+yz)≥27-32/3=49/3
(9-8xy)+(9-8xz)+(9-8yz)≥49/3
（当x=y=z时等式成立）
令:9-8xy=a^2,9-8xz=b^2,9-8yz=c^2
有：a^2+b^2+c^2≥49/3
故：3(a^2+b^2+c^2)≥49（当x=y=z时，a=b=c,等式成立）
因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0(a=b=c时,等式成立)
展开2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac≥0
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
同时加a^2+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+2a^2+2b^2+2c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2
(a=b=c时,等式成立)
又因为：3(a^2+b^2+c^2)≥49
所以必有：(a+b+c)^2≥49（当x=y=z时，a=b=c,等式成立）
所以：a+b+c≥7
即：(9-8xy)½+(9-8xz)½+(9-8yz)½≥7