Question

一道50悬赏分的题，高手帮帮我！！！

Answer 1

由于本人在解题过程中会用到个别少见的公式，所以，本人将这些公式及其推导证明过程与说明放在解题之后的附录中。
解：
xsinβ+ycosα=sinα
①
xsinα+ycosβ=sinβ
②

①×sinα，得
xsinαsinβ+ysinαcosα=(sinα)^2
③
②×sinβ，得
xsinαsinβ+ysinβcosβ=(sinβ)^2
④

③-④，得
(sinαcosα-sinβcosβ)y=(sinα)^2-(sinβ)^2
0.5(sin2α-sin2β)y=(sinα)^2-(sinβ)^2
0.5×2cos(α+β)sin(α-β)y=sin(α+β)sin(α-β)
y=sin(α+β)÷cos(α+β)
所以，y=tan(α+β)

①×cosβ，得
xsinβcosβ+ycosαcosβ=sinαcosβ
⑤
②×cosα，得
xsinαcosα+ycosαcosβ=cosαsinβ
⑥

⑥-⑤，得
(sinαcosα-sinβcosβ)x=-(sinαcosβ-cosαsinβ)
0.5(sin2α-sin2β)x=-(sinαcosβ-cosαsinβ)
0.5×2cos(α+β)sin(α-β)x=-sin(α-β)
x=(-1)÷cos(α+β)
所以，x=-sec(α+β)

所以，原方程组的解为x=-sec(α+β)，y=tan(α+β)

所以，
x^2-y^2
=[sec(α+β)]^2-[tan(α+β)]^2
={1÷[cos(α+β)]^2}-{[sin(α+β)]^2÷[cos(α+β)]^2}
={1-[sin(α+β)]^2}÷[cos(α+β)]^2
=[cos(α+β)]^2÷[cos(α+β)]^2

所以，x^2-y^2=1

附录：解题过程中用到的公式及其推导证明过程与说明

和差化积公式：sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)

证明：
令p+q=2α，p-q=2β，得p=α+β，q=α-β
所以，
sin2α-sin2β
=sin(p+q)-sin(p-q)
=sinpcosq+cospsinq-(sinpcosq-cospsinq)
=2cospsinq
所以，sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)

(sinα)^2-(sinβ)^2=sin(α+β)sin(α-β)

证明：
因为(sinα)^2+(cosα)^2=1
所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=(sinα)^2-(sinβ)^2×[(sinα)^2+(cosα)^2]
所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=(sinα)^2[1-(sinβ)^2]-[(cosα)^2×(sinβ)^2]
所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=[(sinα)^2×(cosβ)^2]-[(cosα)^2×(sinβ)^2]
所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=(sinα×cosβ)^2-(cosα×sinβ)^2
所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=(sinαcosβ+cosαsinβ)×(sinαcosβ-cosαsinβ)
因为
sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)
sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)

所以，(sinα)^2-(sinβ)^2=sin(α+β)sin(α-β)