Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0 b>0)的左右焦点为F1 F2

点A在第一象限的图像上，若三角形AF1F2的面积为1，且tan角AF1F2=1/2，tan角AF2F1= -2 ，则双曲线的方程为

Answer 1

设A(m,n).m＞0，n＞0．
由tanAF1F2=1/2可得,n/(m+c)=1/2,
由tanAF2F1=-2可得,n/(m-c)= 2,
由三角形AF1F2面积为1可得,1/2•2c•n=1,
以上三式联立解得：
c＝√3／2，m＝5√3／6，n＝2√3／3．
所以A（5√3／6，2√3／3），F1（－√3／2，0），F2（√3／2，0）.
根据双曲线定义可得2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝√15.
a＝√15／2，
b＝√（c²－a²）＝√3。
∴双曲线方程为4x²／15－y²／3＝1．

追问

与答案不符呀 如果作AM垂直于F1F2,交F1F2于点M，设F2M=m,则AM=2m,F1M=4m.
再根据面积得出m的值，进而求c,a,b.不过这样求出c=√5/2呀，这样做对吗

追答

你没有注意到题目中的条件：tan角AF2F1= -2<0,
说明角AF2F1是钝角，三角形AF2F1是钝角三角形，
你画成了锐角三角形，导致计算错误。

作AM垂直于F1F2, 因为角AF2F1是钝角，
所以点M在F1F2的延长线上，而不是在线段F1F2上，
设F2M=m,则AM=2m,F1M=4m.
所以F1F2= F1M-F2M=3m,
经计算可得m=√3/3,
F1F2=√3,所以c=√3/2,
我上面的计算是正确的！

Answer 2

多看两遍书上的例题去吧