Question

[题在图][换元]定积分这个换元错了吗？

我写题的时候令 根号(1-x²)=t的做法来做的，解出来是 -1/4。原答案是π/2。我明白最好的换元方式是换成x=sint，但比较想知道一下我这样换元错在哪里。

Answer 1

本题主要是考察奇函数的对称性积分等于0。

偶函数积分为两倍上限到原点的积分。

方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快：

追问

为什么第二步的时候（x³+1）没掉了？奇函数定积分=0了以后不是整个积分都变成0了吗？

追答

x³√(1-x²)是奇函数

√(1-x²)是偶函数

追问

明白了~那还请问为什么直接令 根号(1-x²)=t是不对的做法呢

追答

换元法的目的是为了更好的积分。
你这样换元不利于后面的积分。

换元后t带根号，这样换元没有意义的。

Answer 2

当被积函数是√(1-x^2)时，令t=√(1-x^2)是不能去掉根号的，你可能运算错了，稀里糊涂把根号去掉了，结果当然是错的。

追问

为什么不可以去掉根号呢？X属于[-1,1]的话，根号(1-x²)是≥0的呀

追答

Answer 3

前面几个人都列出了这些的计算方法，但是好像没有解决你说的为什么不能换元的问题？

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换元时候，需要在这个积分区单调的，才能进行，x=sint. 在x属于-1，1这个区间，sint不是单调的，所以不能换元

追问

x=sint （-1≤ x ≤ 1）是单调递增的啊

追答

说错了，是你用的那种不单调，这种是可以的，

（1-X2）=T这个不OK