Question

高等数学求助，求表面积为54而体积为最大的长方体的体积

看了答案解析，不太懂，尤其是那个朗格朗日乘数法，解不等式，实在不会解，谁能帮帮忙，那个不等式如何解： Fx=yz+入（y+z）= 0 Fy=xz+入（x+z）= 0 Fz=xy+入（y+x）= 0

Answer 1

当长方形长=宽=高，即为正方形时，体积最大。

每个面：54÷6=9（cm²）

边长：3cm，

体积V=3³=27（cm³），就是最大的体积。

例如：

3边长x,y,z。

2(xy+yz+xz)=16

V=xyz

f(x,y,z,)=xyz+k(xy+yz+xz-8)

f'x=yz+k(y+z)=0

f'y=xz+k(x+z)=0

f'z=xy+k(y+x)=0

xy+yz+xz=8

解得,x=y=z=2√(2/3)

最大V=16√6/9

扩展资料：

因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。

设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积为S = (ab+bc+ca)×2，也等于2ab+2bc+2ca，还等于2（ab+bc+ca）；

公式：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2。

长方体的体积=长×宽×高。设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积：。因为长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用。

参考资料来源：百度百科-长方体

Answer 2

从x,y,z的对称性入手，容易解决问题

Answer 3

可以从三个方程中解出 -1/入，这样简单：
-1/入 = 1/z + 1/y = 1/x + 1/y = 1/x + 1/z
得 x = y = z
总面积：6x^2 = 54 ==> x = 3
Vmax = 3^3 = 27 m^2

追问

大哥，我还是不理解你说的，可否解释一下

追答

yz+入（y+z) = 0
-入 = yz/(y+z) ==> -1/入 = (y+z)/(yz) = 1/z + 1/y
同理可得：-1/入 = 1/x + 1/y = 1/x + 1/z