Question

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的点，且AE垂直于EF于点E

（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由
（2）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)AE=EP.
证明:设AB=X,BE=Y,则EC=X-Y.
作PG垂直BC的延长线于G,易知PG=CG,设
∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠PEC,则:∠BAE=∠PEC;
又∠B=∠PGE=90°.
故⊿ABE∽⊿EGP,AB/BE=EG/PG,即:X/Y=[(X-Y)+CG]/PG=(X-Y+PG)/PG,PG=Y.
即PG=BE.则:⊿ABE≌ΔEGP(相似比为1的两个三角形全等),得AE=EP.
(2)AB边上存在这样的点M,而且有无数个.
作DM垂直AE,交AB于M,同理可证:⊿DAM≌ΔABE,则DM=AE=EP;
又PE垂直AE,则PE平行于DM.
所以,四边形DMEP为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(即只要保证DM垂直于AE,则该四边形就是平行四边形)

Answer 2

这个题连接AC就很容易了
因为<ACD=45=<PCD
所以ACP=90度
所以<AEP=<ACP
所以AECP四点共圆,所以<APE=<ACE=45度 所以AE=EP

找AB上这么一点M,使 AM=BE
很容易证明三角形DAM全等于ABE
那么DM=AE 由(1)有 AE=EP
所以DM=EP
只须证明DM//EP
因为角MDA=角EAB (全等三角形)
所以AE垂直于MD
因为EP垂直AE 所以MD//EP
所以DMEP是平行四边形

Answer 3

教你点数学观察法，呵呵，我当年上学时常用的，（1）；特殊点处理，假设点E在B点处，或在C点处，呵呵，时显得出答案，AE>=EP。
（2）；如果E在B点，这不就是正方形了吗？呵呵，证明可以D点做AE垂线，这个垂线是平行EP的，平形四边形的性质，轻松得到答案，呵呵，

Answer 4

AE=EP DMEP是平行四边形
有时间再给你证明