Question

求高数大佬





Answer 1

1、sin(1/2)+2sin(1/2^2)+3sin(1/2^3)+...+nsin(1/2^n)+...
令an=nsin(1/2^n)
lim(n->∞) a(n+1)/an
=lim(n->∞) (n+1)sin[1/2^(n+1)]/nsin(1/2^n)
=lim(n->∞) (1+1/n)*sin[1/2^(n+1)]/2sin[1/2^(n+1)]cos[1/2^(n+1)]
=lim(n->∞) (1+1/n)/2cos[1/2^(n+1)]
=1/2
<1
所以根据比值判别法，原级数收敛
2、∑(n=1->∞) (x/an)^n
令bn=(x/an)^n
lim(n->∞) (bn)^(1/n)
=lim(n->∞) x/an
=x/a
若a=0，则原级数发散
若a>0
当0<x<a时，x/a<1，原级数收敛
当x>a时，x/a>1，原级数发散
当x=a时，原级数收敛性不确定
3、∑(n=1->∞) ncos^2(nπ/3)/2^n
因为ncos^2(nπ/3)/2^n<=n/2^n，且∑n/2^n收敛
所以根据比较判别法，原级数收敛