Question

若正整数x、y满足方程x^2+y^2=1997 ,试求x+y的值

Answer 1

对于任何x、y，都有(x-y)^2>=0,即x^2+y^2>=2xy
所以x^2+y^2+2xy<=2(x^2+y^2)=3994
又因为都是正整数,所以x^2+y^2+2xy>=x^2+y^2=1997
因此，1997<=(x+y)^2<=3994
(x+y)显然是整数，所以由上式可得45<=x+y<=63,
x和y显然一奇一偶，所以x+y只能取45、47、...、63
另外有2(x^2+y^2)-(x+y)^2=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2是一个完全平方数，故3994-(x+y)^2是一个完全平方数，将以上十种可能代进去试试就知道了。只有当x+y=63时，才对。这时x和y一个是34，一个是29

Answer 2

44^2 = 1936, 45^2= 2025
x,y ≤ 44, 且x,y 一奇一偶
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43} 的平方：
{1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849}
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44}的平方：
{4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900, 1024, 1156, 1296, 1444, 1600, 1764, 1936}

Answer 3

先由基本不等式缩小范围
x²+y²<(x+y)²≤2(x²+y²)
然后得到45≤x+y≤63
x²+y²=1997可以得到x，y必定一个奇数一个偶数
根据完全平方数的性质
奇数的平方末尾肯定是1，5，9
偶数的平方末尾肯定是0，4，6
不妨设x是奇数，y是偶数
那么x²末尾肯定是1，y²末尾肯定是6
所以x的末尾可能是1或者9
y的末尾可能是4或者6
结合45≤x+y≤63
x+y的可能的解只有有45，47，63
x+y=45的时候xy=(45²-1997)/2=14=2*7不符合条件舍去
x+y=47的时候xy=(47²-1997)/2=106=2*53不符合条件舍去
x+y=63的时候xy=(63²-1997)/2=986=2*17*29=34*29符合条件
综合起来只有当x=29 y=34或者x=34 y=29这组解
所以x+y=63