Question

帮忙看一道高数题？

首先，F(t)为什么可以确定是0,因为t->0+所以F(t)就一定是0可以用洛必达吗。然后就是第二个圈的有点看不明白，可以帮我捋一下吗。其实从第一步就看的不是很明白，定义那里二重积分是极限和，为什么他这里直接变成积分区域乘积分函数了(翻了一下书第一步又看明白了，那里是二重积分中值定理)

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Answer 1

因为t趋于0的时候，积分区域D就趋于一个点，在一个点上作有界函数的二重积分一定是无穷小量（因为二重积分本质上是被积函数和坐标轴之间的曲顶柱体的体积，当底面积趋于0的时候体积也就趋于0）。
t→0+的时候不一定能使用洛必达，因为洛必达要求的是分子分母可以往下求一阶导数，但题目中所求的极限已经暗含了F(t)可导。或者另一种说法（个人猜想，我不是特别确定是否正确），连续的一元函数所确定的变上限积分函数可导，由此可以推广至二元函数，所以该二重积分确定的F(t)是可导的。
后面的问题想必你也弄懂了，就是二重积分的中值定理。t→0+，则ξ和η都趋于0，而函数f(x,y)又连续，所以lim<t→0+>f(ξ,η)=f(0,0)。