Question

微分方程的一个特解形式A题

Answer 1

很简单
解答如下
解：xy'+y=x^2+2化为(x^2-y+2)dx-xdy=0
可以令m(x,y)=x^2-y+2,n(x,y)=-x
m(x,y)关于y的偏导是-1,n(x,y)关于x的偏导是-1，则该微分方程是恰当方程
令初始条件y。=y(x。)
得到(x,x。)∫(x^2-y+2)dx-(y,y。)∫x。dy=0
从而得到
通积分x^3/3-yx+2x=c（c为常数）
这里说明的是，计算到通积分即可，通积分是通解的隐函数表达形式。
也可以写成通解的形式，但会遇到x是否为零的讨论，所以还是写成通积分的形式较为简单。

Answer 2

先求解齐次方程y''-5y'+6y=0。
由特征方程D^2-5D+6=0解得D=-2或-3。
所以齐次方程有形如y=C1exp(2x)+C2exp(3x)的通解。
现在解非齐次方程的一个特解：
设非齐次方程有特解形如y0=x^k(ax+b)exp(2x)。因为2是原方程的单特征根，所以取k=1。
所以y0=x(ax+b)exp(2x)。令y=y0带入原方程，解得2aexp(2x)-2axexp(2x)-bexp(2x)=xexp(2x)。
整理得(2a-b)exp(2x)-2axexp(2x)=xexp(2x)。
所以-2a=1解得a=-0.5.
又有2a-b=0解得b=-1
所以原方程有形如y0=x(-0.5x-1)exp(2x)的特解。
所以原方程的通解为
y=C1exp(2x)+C2exp(3x)+x(-0.5x-1)exp(2x)