Question

如何证明线性变换的值域与核都是v的子空间

Answer 1

直接按子空间定义去验证即可：（设A是一V上的线性变换）
（1）对任意的a、b属于KerA，任意的数k，有A（a+b）=Aa+Ab=0且A（ka）=kAa=0，所以a+b与ka均属于KerA，又KerA是V的子集（且显然非空因为0属于KerA），从而KerA是V的子空间
（2）对任意的a'、b'属于ImA、任意的数k，存在a、b属于V使得Aa=a'、Ab=b'，所以A（a+b）=Aa+Ab=a'+b'属于ImA且ka'=kAa=A（ka）属于ImA，又ImA是V的非空子集合（由A是V上的线性变换可知），从而ImA是V的子空间

Answer 2

核：只要证明，ax=0,ay=0.则对任意数域上的a、b必有a(ax+by)=0,这由a的线性可推出。
值：只要证明，x，y是a值域内的点，则ax+by也是a值域内的点.
由定义，必有x1,y1使ax1=x,
ay1=y，这里x1，y1为v上点。于是ax1+by1也是v上点，而a(ax1+by1)=ax+by,即ax+by是ax1+by1在变换a下的值。