Question

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+5,在函数f(x)的图像上一点p(1,f(1))处切线斜率为3

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+5,在函数f(x)的图像上一点p(1,f(1))
1.若函数y=f（x）在x=-2是有极值 求f(X)解析式
2.若函数y=f（x）在区间[-2,1]上单调递增，求b的取值范围

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
当x=2\3时，f'(2\3)=4\3+4\3a+b=0
（1）当x=1时，f'(1)=3+2a+b=3
解得a=2，b=-4.
f(x)=x^3+2x^2-4x+5。
（2）f‘（x）=3x2+2ax+b 当x=1时，f‘（x）=3 所以2a+b=0即b=-2a
f‘（x）=3x2-bx+b 在【-2，1】恒大于等于0.
分类：对称轴x=b／6≤-2，f‘（x）最小值=f‘（-2）≥0无解
-2＜b／6＜1，f‘（x）最小值=（12b-b2）／12≥0 解得0≤b＜6
b／6≥1，f‘（x）最小值=f‘（1）≥0解得b≥6
综上：b≥0